De l’étude de géométrie projective de Desargues, qu’il fréquentait dans le groupe de Mersenne, le tout jeune Pascal tira le principe de son Essai pour les coniques, qui revendique lui aussi la recherche d’« une manière plus universelle qu’à l’ordinaire ». Cette simple esquisse de recherches en cours et de travaux plus ambitieux est à la fois la première publication de l’auteur et le plus ancien écrit qu’on lui connaisse. Publié sans doute au mois de février de l’année 1640, l’Essai avoue sa dette à l’endroit de Desargues, désigné comme l’« un des grands esprits de ce temps et des plus versés aux mathématiques », mais il révèle déjà une pensée originale : on y trouve, dans le premier « lemme », la formulation primitive du théorème de l’hexagone inscrit, qui restera connu comme « théorème de Pascal ». On y relève aussi une sobriété de l’expression mathématique poussée jusqu’à la sécheresse, qui contraste avec le style imagé de Desargues mais s’inscrit dans une recherche de brièveté propre au « style géométrique » tel que le recommandait Dounot en tête de sa traduction des Éléments d’Euclide. Le modèle euclidien de l’expression mathématique est d’ailleurs clairement indiqué par Pascal lorsqu’il désigne son Essai comme un échantillon d’« Éléments coniques complets » à venir.
L’Essai se présente sous forme d’un placard imprimé d’un seul côté de feuille. Cette forme, qui n’a pour l’époque rien d’exceptionnel, s’explique par le caractère programmatique du texte : « échantillon » (specimen), dira le P. Mersenne en 1644. Comme le Brouillon projet de Desargues de 1639, l’Essai de Pascal fut tiré à cinquante exemplaires réservés à une diffusion dans le cercle des proches de Pascal et des correspondants de Mersenne : les lettres de celui-ci montrent qu’il s’occupa notamment d’en envoyer, en mars 1640, en Angleterre (à Théodore Haak, à John Pell) et aux Pays-Bas, où il chargea aussi Constantin Huygens d’en faire parvenir un exemplaire à Descartes, auquel il avait annoncé avec enthousiasme le travail en cours de Pascal dès novembre 1639. Cette diffusion privée, la forme de feuille volante, et peut-être aussi les défauts de l’impression, où les erreurs sont assez nombreuses et nuisent à la parfaite intelligibilité des figures, ont contribué à la disparition presque totale de l’édition, dont ne subsistent plus que deux exemplaires : celui de Hanovre, qui appartint à Leibniz, et celui de Paris. Tous deux proviennent des papiers de Pascal hérités par la famille Périer. Celui de Paris fut détaché au XX^e siècle d’un recueil de ses écrits mathématiques que Marguerite Périer avait légué à l’oratoire de Clermont en 1723 et qui passa quelques années plus tard dans la bibliothèque personnelle de l’oratorien Pierre Guerrier ; Guerrier de Bezance, héritier de ce dernier, le donna en 1779 à la Bibliothèque royale.