À la fin du mois de juin 1658, Pascal lança un défi aux « plus savants géomètres » de son temps, qui rompait de manière spectaculaire avec l’« oubli du monde et de tout hormis Dieu » proclamé dans le Mémorial : sous couvert de l’anonymat, il institua un concours dont l’objet était de résoudre trois problèmes relatifs à la « roulette » ou « cycloïde ». Le premier consistait à déterminer l’aire et le centre de gravité d’un segment de la courbe ; le second, les volumes et centres de gravité des solides engendrés par rotation de ce segment autour de sa base et autour de l’axe de la courbe ; le troisième, les centres de gravité des demi-solides obtenus en coupant les solides précédents par un plan passant par l’axe. Les réponses étaient à rendre avant le 1^er octobre. Faute de solutions satisfaisantes, l’instigateur anonyme du concours ferait connaître celles que lui-même avait trouvées – ce qui montrait que le concours était plutôt un défi que Pascal lançait à ses contemporains, dans les règles d’un tournoi de l’esprit. De telles joutes n’avaient rien d’exceptionnel dans l’Europe savante du XVII^e siècle, mais la singularité du « concours de la roulette » tient à l’anonymat sous lequel il était organisé et à l’attribution de deux récompenses plus trébuchantes que l’honneur, fixées aux montants élevés de 40 pistoles pour le premier prix et 20 pistoles pour le second – ou 60 pistoles si un seul vainqueur était désigné. Le bifeuillet imprimé en juin 1658, où sont énoncés l’objet et les conditions du concours, est le premier d’une suite d’écrits anonymes publiés sous une forme similaire jusqu’au début du mois de janvier suivant, désignés du nom générique d’« écrits sur la roulette » : six écrits au total, faisant huit éditions en raison de la publication parallèle d’une version latine et d’une version française pour deux d’entre eux. Les trois premiers, publiés entre juin et le 9 octobre 1658, fixaient ou rappelaient les principes du concours ; les trois suivants, publiés du 10 octobre 1658 au 20 janvier 1659, retraçaient les étapes d’une « histoire de la roulette » embrassant à la fois le récit des découvertes relatives à cette courbe, la proclamation du résultat du concours et le règlement de la contestation soulevée par le P. Lalouvère. Toutes les éditions de ces pièces, réservées à une diffusion privée, sont d’une très grande rareté, connues de deux à sept exemplaires selon les cas. L’exemplaire de la première pièce ici présenté appartient au très précieux recueil d’écrits mathématiques de Pascal constitué à partir de ses propres papiers et dans lequel était à l’origine inséré son exemplaire de l’Essai sur les coniques. Les deux figures manuscrites au bas de la p. 3, qui représentent une cycloïde et une parabole, sont très certainement de la main de Pascal.