Le quatrième écrit sur la roulette occupe une place centrale dans toute la série. Son développement le plus long retrace l’histoire des découvertes sur la roulette depuis les premières recherches suscitées par Mersenne. Embarrassé d’avoir méconnu les travaux de Roberval dans sa première lettre, où il ne se référait qu’à ceux de Torricelli, Pascal n’hésite pas à accuser le savant italien de s’être approprié frauduleusement les découvertes du géomètre français, dont la cause est défendue dans des termes très proches de ceux de la lettre que Roberval avait projeté d’adresser à Torricelli en 1646- 1647. Pascal fait ensuite état des réponses reçues, celles qui consistent en réponses partielles ou réflexions sur la cycloïde envoyées à l’occasion du concours mais non en vue du prix et celles qui ont été envoyées pour réellement concourir. Le plus grand nombre appartient à la première catégorie : Pascal cite les noms de René-François de Sluse, de Michelangelo Ricci, de Christiaan Huygens et de Christopher Wren. Les candidats au prix ne sont que deux, John Wallis et Antoine Lalouvère. Enfin Pascal propose trois nouveaux problèmes « sur la nature de la roulette », consistant à déterminer le centre de gravité de toute portion de la courbe, à calculer la surface engendrée par la rotation de cette portion autour de l’axe, enfin à déterminer le centre de gravité de cette surface – problème, dit Pascal, « qui est le plus difficile, et proprement le seul que je propose ». Ainsi étaient définis ce qu’on a coutume d’appeler « les problèmes d’octobre » pour les distinguer de ceux de juin. Pascal ouvrait par là un second concours dans le concours, même si aucun prix n’était cette fois-ci proposé. Mais comme en juin, les réponses étaient attendues dans un délai de trois mois : au-delà du 31 décembre 1658, s’il n’obtenait aucune réponse satisfaisante, il publierait ses propres solutions.